MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Integración por partes

El método de integración por partes permite calcular laintegral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, 

lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.

Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", 

integramos por partes tomando: v' = 1.

Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la

integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.

Integrales por sustitución o cambio

de variable

El método de integración por sustitución o cambio de 

variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo 

que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que 

se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia 

en los dos términos:

Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inical:

Cambios de variables usuales o 

por sustitución Trigonométrica

1. 

2. 

3. 

4. 

5. En las funciones racionales de radicales con distintos 

índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de 

variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.

6. Si  es par:

7. Si  no es par:

Integrales racionales o por fracciones parciales

En las integrales racionales suponemos que el grado del 
numerador es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría.

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que 
numerador, descomponemos el denominador en factores.

Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos 
con los siguientes tipos de integrales racionales:

1º Integrales racionales con raíces reales simples

La fracción  puede escribirse así:

Los coeficientes A, B y C son números que que se obtienen 
efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.

2º Integrales racionales con raíces reales múltiples

La fracción  puede escribirse así:

3º Integrales racionales con raíces complejas simples

La fracción  puede escribirse así:

Esta integral se descompone en una de tipo lograritmico y 

otra de tipo arcotangente.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

E.D.O.L H DE ORDEN SUPERIOR

ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA LINEAL Y NO LINEAL DE PRIMER ORDEN

E.D.O.LINEAL 

FACTOR INTEGRANTE

EJERCICIO DE E.D.O.LINEAL

E.D.O.DE BERNOULLI (NO LINEAL)

ECUACIONES DIFERENCIALES POR: VARIABLES SEPARABLE, EXACTAS, INEXACTAS,HOMOGENEAS

VARIABLES SEPARABLES

ECUACIONES DIFERENCIALES INEXACTAS

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

Los participantes deben revisar los ejercicios resueltos presentados en las paginas relacionadas en este blog

ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales (E.D.) son expresiones matemáticas que establecen relaciones entre variables independientes, dependientes y las derivadas de ésta última. Las E.D. tienen diversas clasificaciones, una de ellas indica que este tipo de ecuaciones pueden ser: Ordinarias y Parciales

De acuerdo al contenido programático, serán analizadas solo las ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O), las cuales se caracterizan por poseer en su estructura, derivadas ordinarias de la variable dependiente.

Resolver una E.D.O., consiste en aplicar un conjunto de técnicas que permitan obtener, a partir de una ecuación diferencial, una expresión matemática que no presente derivadas; sino que exhiba una relación entre las variables mencionadas. Existen muchos métodos para resolver E.D.O, sin embargo, en la presente obra se desarrollarán solo los siguientes

1.    Ecuaciones con Variables Separables: Son ecuaciones de la forma:

        Las cuales se puede resolver así:

Ø     Separar las variables. Esto significa que los términos relativos a la variable dependiente queden a un lado de la igualdad y en el otro los que representan a la otra variable. Por tanto:

Ø     Integrar ambos miembros de la igualdad aplicando los métodos de integración.

2.    Ecuaciones Homogéneas: Son ecuaciones de la forma:

Las cuales se puede resolver mediante el siguiente conjunto de pasos, que será llamado de aquí en adelante ALGORITMO HOMOGÉNEO.

Ø     Aplicar el criterio de homogeneidad. Para ello basta con:

                                                                       i.     Denotar el coeficiente de dx con M(x,y) y el coeficiente de dycon N(x,y). 

                                                                     ii.     Verificar si son homogéneas, aplicando las siguientes igualdades:

1.   M(kx, ky)= kⁿM(x,y)

2.   N(kx, ky)= kⁿN(x,y)

Nota1: Para 1 y 2, los exponentes deben ser iguales  y tanto M(x,y)como N(x,y), no quedan afectados del factor k.

Ø     Hacer el siguiente cambio de variable:

·       y=vx (I)

Ø     Derivar (I), obteniéndose:

·       dy=vdx+xdv (II)

Ø     Sustituir las expresiones (I) y (II) en la ecuación diferencial dada.

Ø     Aplicar propiedad distributiva y agrupar términos semejantes.

Ø     Aplicar el método de Variables Separables

3.    Ecuaciones Exactas: Son ecuaciones de la forma:

Donde M(x,y) y N(x,y), son funciones continuas que verifican la siguiente igualdad:   =       (III)

Estas ecuaciones pueden resolverse mediante el siguiente conjunto de pasos, que será llamado de aquí en adelante ALGORITMO EXACTO.

·       Denotar el coeficiente de dx con M(x,y) y el coeficiente de dycon N(x,y). 

·       Verificar que se cumple (III)

·       Hallar una función auxiliar F. Para ello basta con integrar aM(x,y),con respecto a x. Así:

o      

·       Derivar parcialmente a F e igualar este resultado con N(x,y), es decir:     N(x,y)

·       Despejar el factor   y calcular f(y), integrando la expresión obtenida en el despeje.

·       Sustituir f(y) en la expresión obtenida, anteriormente, para F y realizar las operaciones algebraicas que aparezcan para construir una respuesta lo mas simplificada posible.

INTEGRALES TRIPLES

Calculo de Integrales Triples

Coordenadas Cilíndricas

 y Esféricas

Aplicación de Integrales

Triples

Estimado participante,  revise los videos suministrados que le servirá de ayuda para actividad de aula...

MATEMÁTICAS III

INTEGRALES TRIPLES

En esta sección se presenta la integral triple para funciones de tres variables, funciones
del tipo f : B ⊆ R3 →R , tal como se hizo en la sección anterior para las integrales
dobles. Así como se define la integral triple a partir de una triple suma de Riemann y se
ilustra el proceso de resolución de la misma, de manera similar se puede esbozar la
definición y el cálculo de integrales múltiples de funciones del tipo f :Q ⊆ Rn →R .

DEFINICIÓN: Integral triple de f sobre B
Sea f :R3 →R una función definida sobre un paralelepípedo B del espacio. La integral triple de f sobre B , denotada por  ∫∫∫B f( x, y,z )dV