Integración por partes
El método de integración por partes permite calcular laintegral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:
Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.
Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.
Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n,
lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.
Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco",
integramos por partes tomando: v' = 1.
Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la
integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.
Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la
integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.
Integrales por sustitución o cambio
de variable
El método de integración por sustitución o cambio de
variable se basa en la derivada de la función compuesta.
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo
que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que
se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por cambio de variable
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia
en los dos términos:
Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:
2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:
3º Se vuelve a la variable inical:
Cambios de variables usuales o
por sustitución Trigonométrica
1.
2.
3.
4.
5. En las funciones racionales de radicales con distintos
índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de
variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.
6. Si es par:
7. Si no es par:
Integrales racionales o por fracciones parciales
En las integrales racionales suponemos que el grado del
numerador es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría.
numerador es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría.
Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que
numerador, descomponemos el denominador en factores.
numerador, descomponemos el denominador en factores.
Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos
con los siguientes tipos de integrales racionales:
con los siguientes tipos de integrales racionales:
1º Integrales racionales con raíces reales simples
La fracción puede escribirse así:
Los coeficientes A, B y C son números que que se obtienen
efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.
efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.
2º Integrales racionales con raíces reales múltiples
La fracción puede escribirse así:
3º Integrales racionales con raíces complejas simples
La fracción puede escribirse así:
Esta integral se descompone en una de tipo lograritmico y
otra de tipo arcotangente.
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