domingo, 27 de julio de 2014

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Integración por partes

El método de integración por partes permite calcular laintegral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:
fórmula de la integral por partes
Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.
Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.
Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, 
lo tomamos como y se repite el proceso n veces.
Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", 
integramos por partes tomando: v' = 1.

Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la


integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.

Integrales por sustitución o cambio

de variable

El método de integración por sustitución o cambio de 
variable se basa en la derivada de la función compuesta.
integral por sustitución
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo 
que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que 
se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

integral
 Se hace el cambio de variable y se diferencia 
en los dos términos:
cambio
diferenciar
Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:
sustituir en la integral
 Si la integral resultante es más sencilla, integramos:
integral
 Se vuelve a la variable inical:
cambio de variable

Cambios de variables usuales o 

por sustitución Trigonométrica

1. cambio de variable x = a sen t

2cambio de variable x = a tg t

3. cambio de variable x = a sec t

4. cambio de variable t = radicando

5. En las funciones racionales de radicales con distintos 

índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de 

variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.

6. Si racional que una métrica par es par:

cambio de variable

7. Si racional que una métrica par no es par:

cambie variable


Integrales racionales o por fracciones parciales

En las integrales racionales suponemos que el grado del 
numerador es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría.
integral de la división
Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que 
numerador, descomponemos el denominador en factores.
Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos 
con los siguientes tipos de integrales racionales:

1º Integrales racionales con raíces reales simples

La fracción fracción polinómica puede escribirse así:
igualdad
Los coeficientes A, B y C son números que que se obtienen 
efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.

2º Integrales racionales con raíces reales múltiples

La fracción fracción polinómica puede escribirse así:
igualdad

3º Integrales racionales con raíces complejas simples

La fracción fracción polinómica puede escribirse así:
igualdad
Esta integral se descompone en una de tipo lograritmico y 
otra de tipo arcotangente.

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